近日，理學(xué)院胡勝龍教授與中國科學(xué)院葉科副研究員合作，在運(yùn)籌學(xué)頂級期刊Mathematical Programming刊發(fā)60頁的研究長文“Linear convergence of an alternating polar decomposition method for low rank orthogonal tensor approximations”，介紹了其在張量低秩逼近方面的最新研究成果。

這是我校教師首次以第一作者并以杭州電子科技大學(xué)為第一作者單位在該期刊發(fā)表論文。該論文刻畫了張量低秩正交逼近問題穩(wěn)定點(diǎn)的非退化性，進(jìn)而證明了經(jīng)典交替極分解方法的大范圍線性收斂性，成功解決了這個(gè)近二十年的公開問題。

在一個(gè)聚會(huì)上，如何通過記錄的混合音頻分離出每個(gè)人的發(fā)言？這是一個(gè)典型的盲源信號分離問題，是一個(gè)復(fù)雜的逆問題。盲源信號分離是一個(gè)在眾多領(lǐng)域發(fā)揮關(guān)鍵作用的基本問題。對這個(gè)逆問題，目前僅有張量低秩正交逼近的方法具有求得真實(shí)解的理論保證。

信號分離的獲?。ɑ蛳鄳?yīng)張量低秩逼近問題的求解）一般通過數(shù)值計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)。該數(shù)值算法的全局收斂性和收斂率是其重要的特征。全局收斂性意味著該算法能不能成功計(jì)算出所需要的結(jié)果；收斂率則決定著什么時(shí)候能算出結(jié)果，這在工程應(yīng)用中至關(guān)重要。高階收斂的算法往往跑得快、算得準(zhǔn)。獲得較高階收斂率（如線性、超線性、二次等）的算法往往會(huì)讓一件事情從“今生難見”變成“立等可取”。

張量低秩逼近被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、信號處理、獨(dú)立成分分析、數(shù)據(jù)挖掘、隱變量分析、高維數(shù)據(jù)降維處理等領(lǐng)域。在過去的20年里，為了求解該問題，人們提出了各種數(shù)值算法，其中基于交替優(yōu)化的APD方法是被最為廣泛使用的高效算法。但是，能不能算得出、算得快、算得準(zhǔn)的問題沒有理論保證，成為一大難題。本研究證明了該算法的全局收斂性和大范圍線性收斂率，從而解決了上述難題，提供了理論基礎(chǔ)。 

該研究從投影角度出發(fā)，通過研究低秩正交張量集的代數(shù)幾何與微分幾何性質(zhì)，巧妙結(jié)合極分解的誤差界理論和梯度流收斂性分析，證明了算法的全局收斂性和大范圍線性收斂率。

數(shù)學(xué)規(guī)劃（Mathematical Programming，Series A）是運(yùn)籌學(xué)頂級期刊，國際數(shù)學(xué)優(yōu)化（Mathematical Optimization Society）旗艦期刊，每年刊文140篇左右。自2017年以來，有中國學(xué)者署名的論文總計(jì)72篇（含在線發(fā)表），其中署名均為大陸學(xué)者的論文僅有8篇。